Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

1624. Что означает выражение «машину занесло на повороте»? Почему это происходит?

1625. Почему при быстрой езде по кругу мотоциклист сильно наклоняется к центру круга?

1626. При повороте в воздухе самолет опускает вниз то крыло, в какую сторону поворачивает. Корабль при повороте в воде опускает вниз борт, противоположный стороне поворота. Почему?

1627. Почему наездники в цирке свободно держатся на том боку седла, который обращен к центру арены, а на противоположном боку седла им удержаться гораздо труднее?

1628. При вращении шарика на резинке, резинка растягивается, причем тем сильнее, чем быстрее вращается шарик. Почему резинка растягивается?

1629. Велосипедист, двигаясь на большой скорости, может преодолеть чертово колесо (рис. 220). Почему велосипедист не падает в верхней точке петли?

1630. Кубик массой 0,4 кг положили на грампластинку на расстоянии 0,2 м от ее центра (рис. 221). При вращении пластинки линейная скорость кубика равна 0,2 м/с. Каково ускорение кубика? Какая сила удерживает кубик на пластинке и чему она равна?

1631. Мотоцикл проходит поворот радиусом 20 м. Коэффициент трения между колесами и землей равен 0,7. С какой наибольшей скоростью может двигаться мотоцикл, чтобы не возникло заноса?

1632. Во время дождя коэффициент трения между колесами мотоцикла и землей уменьшается до 0,1. Решите предыдущую задачу для дождливой погоды. Во сколько раз найденная вами скорость мотоцикла из предыдущей задачи будет меньше во время дождя?

1633. Определите центростремительную силу, действующую на вагон метро массой 16 т, когда он движется со скоростью 8 м/с по закруглению радиусом 80 м.

1634. Постройте траекторию движения тела, брошенного горизонтально со скоростью 30 м/сек с высоты 80 м. Определите, на каком расстоянии от места бросания тело упадет на землю и скорость его в момент удара о землю. Сопротивление воздуха не учитывать. Принять g = 10 м/сек2.

1635. С мачты парохода с высоты 10 м над палубой уронили мяч. Скорость парохода 18 км/час. На сколько успеет переместиться пароход за время падения мяча? Где упадет мяч? Какова траектория движения мяча по отношению к поверхности моря? Какова скорость мяча в момент удара о палубу?

1636. На краю стола лежит кусочек мела. Мелу сообщили горизонтальный толчок по направлению, перпендикулярному к классной доске. След от удара мела о доску лежит на 20 см ниже поверхности стола. Расстояние доски от края стола 1 м. Определите начальную скорость мела.

1637. С какой скоростью надо бросить тело в горизонтальном направлении с высоты 20 м, чтобы скорость его в момент падения на землю была 25 м/сек?
(Указание. Решите эту задачу на основании закона сохранения энергии.)

1638. Грузовик массой 5000 кг движется со скоростью 28,8 км/ч по выпуклому мосту с радиусом кривизны 0,04 км. С какой силой давит грузовик на середину моста? С какой скоростью он должен ехать, чтобы не оказывать давления на верхнюю точку моста?

1639. Тепловоз массой 15 т движется по вогнутому мосту с радиусом кривизны 0,05 км. Сила давления тепловоза на середину моста равна 149,5 кН. Какова скорость тепловоза?

1640. Автофургон идет по закруглению радиусом 200 м со скоростью 72 км/ч. При этом внутри фургона производится взвешивание на пружинных весах груза массой 49 кг. Определите показания пружинных весов.

1641. Самолет делает «мертвую петлю» радиусом 0,245 км в вертикальной плоскости. При какой наименьшей скорости самолета в верхней части петли летчик не будет отрываться от кресла?

1642. Самолет, летящий со скоростью 360 км/ч, описывает в вертикальной плоскости «петлю Нестерова» радиусом 0,2 км. Во сколько раз сила, прижимающая летчика к сиденью в нижней точке петли, больше его веса?

1643. Самолет, летящий со скоростью 540 км/ч, описывает в вертикальной плоскости «мертвую петлю» радиусом 500 м. Во сколько раз сила, прижимающая летчика к сиденью, в нижней точке петли больше силы, прижимающей летчика к сиденью, в верхней точке петли?

1644. Коленчатый вал двигателя делает 3600 об/мин. Найдите угловую скорость и период вращения коленчатого вала.

1645. Винт вертолета вращается с частотой 1500 об/мин. Скорость полета вертолета 72 км/ч. Сколько оборотов сделает винт на пути 120 км?

1646. Определите угол поворота Земли вокруг собственной оси за 120 мин.

1647. Коленчатый вал радиусом 2 см делает два оборота за ОД с. Какова частота вращения вала? Найдите угловую и линейную скорости точек поверхности вала.

1648. Самолет летит на широте Санкт-Петербурга (60°). Его пассажиры и экипаж видят, что за окнами иллюминаторов все время светло, ночь не наступает. В каком направлении и с какой скоростью летит самолет? (Радиус Земли 6400 км.)

1649. Вал радиусом 10 см с прикрепленной к нему нитью начал равномерно вращаться. Через 5 с на него намоталось 15 м нити. Найти период, частоту и угловую скорость вращения вала.

1650. Диаметр точильного камня равен 0,3 м. Линейная скорость точек на его рабочей поверхности равна 10 м/с. Определите угловую скорость, частоту и период вращения точильного камня. Сколько оборотов он сделает за 1,5 мин? На какой угол он повернется за это же время?

1651. Шкив радиусом 50 см делает 110 об/мин. Определите период вращения и линейную скорость точек, лежащих на окружности шкива. Какой путь пройдет одна из этих точек за 2 мин?

1652. Капля краски на ободе колеса, имеющего диаметр 20 см движется с линейной скоростью 628 см/с. Сколько оборотов шкив делает за минуту?

1653. Для качественной шлифовки поверхность наждачного круга не должна иметь линейную скорость более 50 м/с. На шлифовальной машине такой круг диаметром в 200 мм делает 3000 оборотов в минуту. Допустима ли такая скорость?

1654. Шлифовальный круг радиусом 30 см равномерно вращается вокруг оси в его центре О (рис. 222). Линейная скорость точки А на круге равна 3,5 м/с. Определите линейную скорость точки Б, расположенной на расстоянии 5 см от оси вращения.

1655. Укажите направление ускорения движущегося тела в положениях А и В, показанных на рисунке 223.

1656. На рисунке 224 показана рука, вращающая камень, привязанный к веревке. Укажите, какие силы действуют на камень, на веревку, на руку, и изобразите их векторами. Если в положении, показанном на рисунке, веревка оборвется, то как будет двигаться камень?

1657. На прибор, состоящий из стержня, по которому могут скользить два шарика: масса одного в 2 раза больше массы другого. Оба шарика связаны нитью так, что центры тяжести их расположены друг от друга на расстоянии 12 см. Весь прибор приводится во вращение вокруг вертикальной оси. Рассчитайте, на каком расстоянии от оси вращения должны быть расположены шарики, чтобы при вращении прибора они оставались на месте, не скользили по стержню.

1658. Если на веревке привязать маленькое ведерко с водой, то можно это ведерко вращать по кругу и вода из него не выльется. Изготовьте ведерко из жестяной банки и проделайте такой опыт. Постарайтесь объяснить его.

1659. Радиус окружности, по которой движется конец секундной стрелки, 0,8 см, минутной - 2 см, часовой - 1,5 см. Найдите линейные и угловые скорости стрелок.

1660. Ведущее колесо паровоза диаметром 1,6 м делает 120 оборотов в минуту. С какой скоростью движется паровоз?

1661. Найдите линейную и угловую скорости точки земной поверхности на широте Москвы при суточном вращении Земли вокруг оси. Считать радиус Земли равным 6400 км.

1662. Во сколько раз линейная скорость конца минутной стрелки больше линейной скорости конца часовой стрелки, если минутная стрелка в 1,2 раза длиннее часовой?

1663. Колесо катится без проскальзывания со скоростью 5 м/с. Найдите скорости точек А, В, С, D, Е (рис. 226) относительно Земли. Расстояние от точки Е до центра колеса равно половине радиуса.

1667. Масса планеты Марс составляет 0,11 массы Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для Марса меньше, чем для Земли, если его радиус равен 0,53 радиуса Земли?

1668. Космический корабль удалился от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли. Какую скорость он должен развить, чтобы вращаться по окружности вокруг Земли?

1669. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите вокруг Земли на высоте, равной 4000 км над поверхностью Земли. Найдите его скорость и период обращения.

1672. Искусственный спутник движется в плоскости земного экватора и с Земли кажется неподвижным. Какова скорость спутника? Найдите расстояние от спутника до центра Земли.

Мотоцикл, как и любое тело, движется в соответствии с законами физики. Плохо, если вы пропустили этот раздел в школе. Тогда бы у вас не возник вопрос о том, как правильно переворачивать – простите за ошибку – поворачивать на мотоцикле, или как делать поворот, который закладывают. Мы восполним этот пробел. Ответы на эти вопросы просты. Силы, двигающие мотоцикл, сделают все за вас. Задача райдера – смотреть вперед и чувствовать байк.

Как заложить мотоцикл в повороте

Когда байк едет прямо на него воздействует сила тяжести, перпендикулярная полотну дороги. Когда мы поворачиваем руль, мы создаем силу, направленную в сторону условного центра, вокруг которого совершается поворот. Это сила называется центростремительной. Ее направление – перпендикулярно вектору движения байка.

Если бы центростремительная сила воздействовала без силы тяжести, то мотоцикл бы в миг перевернулся. Но сила тяжести выравнивает центростремительное ускорение, создавая результирующую силу, которая проходит от центра масс байка и райдера к пятну соприкосновения с полотном дороги. Эта сумма сил автоматически наклоняет байк в сторону поворота, предотвращая опрокидывание. Проще говоря, находясь в дуговом движении, мотоцикл балансирует между постоянной силой тяжести и временно созданным центростремительным ускорением.

Соответственно, чем больше будет центростремительное ускорение, тем на меньший угол к дороге закладывается мотоцикл (т.е. получается больший угол наклона). При слишком крутом повороте, резком торможении или газе центростремительная сила настолько велика, что она не выравнивается силой тяжести. В результате мотоцикл уходит в занос, теряет сцепление с дорогой и опрокидывается.

Чтобы заложить мотоцикл в повороте нужно:

• развить скорость;
• войти в поворот;
• использовать контрруление;
• придерживаться траектории;
• работать газом;
• отклониться телом (при необходимости).

Гироскопический эффект и скорость

Вам никогда не приходило в голову, почему едущий мотоцикл устойчив, а стоящий в покое – падает? Устойчивость мотоциклу придает гироскопический эффект, создаваемый вращающимися вокруг своей оси колесами. Колеса являются мощным гироскопом по типу детской юлы. Помните, как по мере остановки вращения юла увеличивает свою «раскачку» и постепенно теряет устойчивость. А как только юла останавливает вращение, она тут же теряет равновесие и падает.

Примерно также ведет себя и мотоцикл. Гироскопический эффект, образующийся от высокой скорости вращения колеса, стабилизирует положение байка. То есть высокая скорость делает байк устойчивым в повороте. Поэтому чем выше скорость, тем более крутой поворот реально сделать. Следует учитывать, что одновременно с повышением устойчивости мотоцикла уменьшается его маневренность, и им становится сложнее рулить.

Контрруление

Контрруление – это единственно верный способ управления байком в дуговом движении. Оно использует силу, результирующую центростремительную и притяжения, и гироскопический эффект, создаваемый колесами.

Суть контрруления: совершая поворот, мы толкаем от себя ту рукоятку руля, в сторону которой мы поворачиваемся. И наоборот: вытягивая на себя рукоятку руля в сторону поворота, мы изменим направление поворота.

На принципе контрруления построено удержание равновесия на низких скоростях, когда гироскопический эффект не оказывает достаточной стабилизации. В этих случаях мы инстинктивно выворачиваем руль в сторону вероятного падения. В результате двухколесный друг отклоняется в противоположную сторону, и равновесие сохраняется.

Траектория

Традиционно траектория гоночного поворота предполагается наиболее выпрямленной с максимально большим радиусом. Это позволяет сохранять адекватный и безопасный наклон к дороге.

Такая траектория состоит из следующих этапов:

• следование по внешней стороне трассы;
• резкий заход в поворотную дугу в направлении апекса на внутренней стороне трассы;
• из апекса плавный выход из дуги снова на внешнюю сторону трассы.

Чтобы вписаться в поворот, нужно видеть траекторию движения на несколько секунд вперед. Подъезжая к повороту, вы должны видеть не только точку съезда на апекс, но и сам апекс. И далее – подъезжая к внутреннему апексу, вы должны иметь представление о траектории выхода из поворота.

Естественно, приведенная выше конструкция идеальна. В реальной жизни на траекторию влияет масса факторов: естественные препятствия, другие мотоциклисты, погодные условия, степень освещенности и т. д. Все они вносят коррективы при дуговом движении транспортного средства.

Работа газом

Мотоцикл в движении имеет разную площадь соприкосновения колес с дорожным полотном. У заднего она больше, чем у переднего, т.к. оно является ведущим и испытывает большую нагрузку. Соответственно, заднее колесо имеет лучшее сцепление. Но при прохождении поворота в силу разных причин происходит изменение развесовки между колесами.

Это чревато потерей управления:

• Резкий газ приведет к заносу и перевороту.
• Торможение станет причиной перегрузки переднего колеса. Возникнет сила, выводящая мотоцикл из поворота. Снижение гироскопического момента приведет к потере устойчивости и падению.
• Выжимая сцепление, поворот можно пройти, но делать этого не стоит.

Правильной тактикой будет дуговое движение с ускорением. То есть, войдя в траекторию, нужно периодически плавно открывать газ, чтобы в меру загружать заднее колесо. Так, немного увеличивая скорость, мы избежим заноса, повернем быстро и безопасно.

Участие тела в повороте

Из всех рассмотренных выше элементов, влияющих на поворот, отклонение райдера в ту или иную сторону будет иметь наименьшее значение. Мотоцикл значительно тяжелее мотоциклиста, центр тяжести всей системы смещен вниз. Наклоном корпуса можно отклонить только очень легкий мотоцикл – и даже в этом случае это воздействие происходит медленнее, чем это требуется. Общее правило: мотоцикл в повороте в основном реагирует на рулевое усилие, а поза тела вторичны.

Совет: всегда старайтесь поворачивать, держа корпус ровно, используйте наклон в сторону, противоположную повороту, чтобы быстрее наклонить мотоцикл.

Вторично – это не значит, что влияние наклона тела отсутствует вовсе. Это значит, что в зависимости от веса райдера и массы байка наклоном тела можно изменять угол наклона байка в повороте на 3-6° C; (либо увеличивать/уменьшать скорость с сохранением угла наклона). Что, в общем, немного, но может быть полезным в качестве легкого «тюнинга» поворота.

Соответственно, если мы смещаем центр тяжести системы байк-райдер в одну сторону, то мотоцикл под действием совокупности сил выравнивается в противоположную. То есть если мы хотим уменьшить угол наклона, то мы отклоняемся в сторону наклона. Если увеличить – то в сторону, противоположную наклону байка.

MENSBY

4.7

Положение ног на подножках мотоцикла при движении по прямой и поведение мотоциклиста при повороте. Управление мотоциклом. Как правильно поворачивать.

Мы продолжаем публиковать серию статей, посвящённых управлению мотоциклом. Так как серия посвящена получению теоретических или полупрактических навыков, а также улучшению знаний или работе над ошибками, мы продолжаем публиковать статьи на данную тему.

Мы уже научились находиться в правильном положении на мотоцикле и сегодня мы рассмотрим ещё один не менее важный аспект посадки - это положение ног на подножках мотоцикла при движении по прямой и поведение мотоциклиста при повороте.

Как поворачивать.

Дальше мы рассмотрим, где должно находиться тело при повороте, а также траектории движения. Но пока немного о самом действии. Поворот можно пройти несколькими способами. Эти способы меняются с натренированностью мотоциклиста и чувством самого мотоцикла. Рассмотрим для начала самый первый. Для входа в поворот нам необходимо добиться того, чтобы скорость прохождения поворота соответствовала самому повороту. Гасим скорость торможением по прямой. Закрываем газ и затем нажимаем на тормоз. Нужно добиться того, чтобы положение ручки газа не менялось в зависимости от того, тормозите вы или нет, то есть действие пальцев правой руки не должно влиять на положение дроссельных заслонок. Далее для поворота, например, влево, вам необходимо надавить сверху на левый клипон (левую рукоятку руля) и байк начинает заваливаться в нужную вам сторону. Желательно натренировать себя, чтобы скорость заваливания была максимально высокой скоростью, то есть, не медленно кренить мотоцикл, а завалить его до нужного положения (плавно, но быстро), а затем просто ждать выхода. На выходе плавно добавляя газ мы увеличиваем гироскопический эффект мотоцикла, и он автоматически поднимается, практически без вашего участия. Итак, резюмируем, от вас требуется только подбор нужной скорости и завалить мотоцикл в повороте. Остальное он сделает сам, и не нужно ему в этом мешать…

Дальше серия номер два.

Контрруление.

Теперь, наверное, самый запутанный с точки зрения нормальной логики способ поворота. Контрруление. Хочу сразу оговориться, что этот способ поворота совсем неоднозначный. Есть ярые поклонники этого способа, также есть люди, которые этот способ не приемлют, но, тем не менее, супермотарды по другому поворачивать, по-моему, не умеют. Итак, продолжим, сложный он только в понимании процесса. Обычно для наклона мотоцикла в поворот, например, влево мы наклоняем мотоцикл влево, и давим соответственно на левый клипон. При контррулении всё наоборот, мы так же кладем мотоцикл влево, но только вместо давления мы толкаем клипон. Как бы выворачивая переднее колесо наружу поворота. То есть, как бы ломая мотоцикл, относительно продольной оси. На первый взгляд кажется, что мотоцикл должен подняться, но на самом деле он сразу валится в поворот сильнее. Будьте предельно аккуратны при использовании этого способа, так как ход руля в 5 миллиметров наклонит мотоцикл градусов на 15. Физика происходящего следующая. Гироскопический момент поднимает мотоцикл и придает его движению прямолинейности. Заднее колесо продолжает толкать мотоцикл вперед. За траекторию движения отвечает переднее колесо, то есть, изламывая траекторию переднего колеса мы добиваемся того что траектория заднего и переднего колес немного не совпадают и мотоцикл пытается вернуться на одну продольную ось. Эта ось находится немного ниже той, на которой сейчас едет мотоцикл. Противники этого способа поворота имеют некое рациональное зерно в том, что мы не даём колёсам двигаться по одной полосе движения, и этим уменьшаем себе процент права на ошибку. Лично я рекомендую попробовать данный способ в длинных и быстрых поворотах. А только после понятия того, как это работает переходить к осмысленным действиям и валить мотоцикл в поворот сразу данным способом. Это очень быстро!!!

C тем как поворачивать мы разобрались. Теперь несколько слов о этих двух способах одновременно.

Работа газом. Всё вышесказанное имеет смысл только в том случае, когда у вас открыт газ. Это не значит, что у вас на ручке газа выключатель с двумя положениями: ВКЛ и ВЫКЛ. Просто газ не должен быть закрыт. Мотоцикл что-то должно толкать вперед и передавать гироскопический момент на колёса и мотор.
Ещё одна деталь. Прохождение поворота должно быть сделано на постоянном или плавно увеличивающемся газе и постоянном угле наклона мотоцикла. Смена траектории и скорость прохождения должна быть выбрана задолго до того, как вы положили мотоцикл в поворот. Если поворот неизвестен, тогда нужно уменьшать максимальную скорость. Дайте себе шанс исправить чужие ошибки. Если говорить о максимально возможной скорости в повороте, тогда нам нужно иметь максимально правильную траекторию, максимальную скорость и максимальный угол наклона. Ну и газ…

Посадка в повороте.

Для начала посмотрим на то, как должны стоять ноги при прямолинейном движения мотоцикла.

Упор при движении необходимо максимально перемещать на подножки, то есть опираться нужно не на пятую точку, а располагать вес на подножках (насколько хватает физической подготовки). Основной упор должен приходиться именно на них. Это касается положения как при прямолинейном движении, так и при поворотах мотоцикла. Теперь относительно того, как должна стоять стопа на подножке. Мы неоднократно видели на треке, как новички ездили, опираясь на середину стопы, стирая слайдеры на ботинках об асфальт в поворотах.

Конечно, в таком положении очень удобно тормозить и переключать передачи, но это неправильно. Чтобы переключить передачу достаточно подвести ногу к лапке, включить нужную передачу, а затем убрать ногу обратно. То же касается заднего тормоза (если им, конечно, кто-то пользуется на треке???) Никаких свисающих частей тела в неположенных местах! Во-первых, мало того, что неправильное положение стопы влияет на положение тела, а соответственно и на развесовку мотоцикла, так и на безопасность вождения. В повороте, цепляясь ботинком за асфальт, есть шанс того, что нога слетит с подножки или мотоцикл провернет на ноге в повороте. Это, конечно же, станет причиной падения, а в случае зацепа ноги за асфальт это перелом. То есть, неправильно поставив ноги на подножки, мы сразу начинаем неправильно ехать. Более того, с такой постановкой ноги невозможно сильно наклонить мотоцикл. Далее несколько слов о положении ноги в повороте. Как мы говорили ранее, ноги должны стоять на носочках на подножках и весь упор должен приходиться именно на подножки и в повороте должно происходить приблизительно то же самое. Давайте для начала определимся с терминологией. Внутренняя нога это та, которая находится ближе к повороту, то есть если мотоцикл наклоняется влево, именно левая нога будет внутренняя. Внешняя нога - соответственно противоположная к повороту. Упор должен ВСЕГДА быть на внешней подножке.

То есть, упираясь во внешнюю подножку, мы как бы поднимаем мотоцикл, но при этом внутренняя нога не давит на подножку, а просто находится в таком положении, в котором она не свисает, а стоит строго вертикально на носке исключительно для поддержания правильного положения тела. При прохождении связок поворотов или при резкой смене траектории из одной стороны в другую, необходимо просто менять позицию, но не опускать ее из исходного положения.

А сейчас пару слов о правильном положении тела в повороте.

Смещение тела.

Для чего мотоциклисты свешиваются в повороте. Этим они добиваются правильного распределения веса. Любой поворот мотоцикл проходит исключительно за счёт наклона мотоцикла в зависимости от скорости. Выше скорость – сильнее наклон. При этом в силу вступают центробежные силы, и мотоцикл стремится распрямиться и выехать наружу поворота. Резина мотоцикла не дает ему смещаться за счет сцепных свойств покрышки. Добавим, что с увеличением угла наклона мы уменьшаем пятно контакта колеса с дорогой, что не очень хорошо с точки зрения физики процесса. Именно этот баланс сил трения и центробежной силы определяет скорость прохождения поворота и угол наклона. До определенного угла наклона мотоцикл может наклониться без помощи мотоциклиста, то есть мотоциклисту не нужно делать ничего, просто завалить мотоцикл в поворот. Но пойдём немного дальше. Неожиданно появляется желание ездить быстро или быстрее. Тогда рассмотрим те аспекты, которые позволяют делать это безопасно. Свешивание с мотоцикла. Свешиваясь и смещая тело в сторону поворота, держимся на мотоцикле исключительно за счёт упора внутренней части бедра внешней ноги в фальшбак. Именно колено, а не руки или вторая нога удерживает нас в этом состоянии. Колено упирается во внешнюю стенку фальшбака и с усилием давит на неё, напомню, что при открытом газе мотоцикл пытается распрямить траекторию движения. Мы своей массой не даём мотоциклу выравниваться, а заваливаем его сильнее или держим на заданной траектории внутренней частью бедра. Угол наклона определяется исключительно за счёт давления бедра, но не за счёт поворота руля. Дайте возможность мотоциклу двигаться по своей траектории. В начале поворота вы просто давите на рукоятку руля, а потом только управление весом. Именно так мы даем мотоциклу возможность проходить поворот с меньшим наклоном при той же скорости, то есть, увеличивая пятно контакта шин с дорогой. И опять у нас появляется возможность увеличить скорость и, как следствие, сильнее наклонить мотоцикл. Мы можем повторять это упражнение до того момента, пока внутреннее колено не коснётся асфальта. Дальше мотоцикл наклонять нельзя. Вернее можно, но тут уже начинают играть решающую роль чувство мотоцикла, везение и насколько свежая резина. Ошибка, на которую необходимо обратить внимание – момент когда мотоциклист свешивается с мотоцикла и иногда упирается в бак коленом, которое должно упираться в асфальт. Итак, резюмируем. Свешиваясь с мотоцикла, мы можем пройти поворот в несколько раз быстрее при одинаковом угле наклона мотоцикла. То есть, свешиваясь или хотя бы смещая тело в сторону поворота даже на небольших скоростях, мы делаем движение более безопасным за счёт меньшего наклона мотоцикла в повороте. Хочу немного добавить, что нет необходимости полностью слезать с мотоцикла, просто достаточно небольшого смещения относительно центральной оси мотоцикла (как показано на фотографии).

Смещение тела вперёд при прохождении поворота. В зависимости от конструкции мотоцикла, точнее за счёт развесовки, нам необходимо корректировать положение тела относительно продольной оси мотоцикла. Вам не нужно ползать по мотоциклу, достаточно смещать корпус и голову в сторону поворота. То есть, ваш шлем должен стремиться к внутреннему зеркалу мотоцикла. (Если у кого они не установлены, то просто к тому месту, где ему предполагается быть). Это необходимо для того, чтобы загрузить переднее колесо, дать на него больше массы и следовательно увеличить силу трения между покрышкой и асфальтом, а следовательно оставить себе шанс остаться на нужной траектории, а не получить снос переднего колеса. Хочу заметить, если схватиться за руль именно в данный момент, скорее всего переднее колесо потеряет контакт с дорогой. В случае дополнительной загрузки переднего колеса резина будет сильнее изнашиваться и образуется канавка на резине. Эта перегрузка колеса будет образовываться, если мотоциклист, схватившись за руль, будет пытаться повалить мотоцикл в поворот. В этот момент мотоциклист мешает подвеске полноценно работать, и как следствие мы получаем опасную перегрузку покрышки. В поворот необходимо закладывать байк, удерживаясь за бак исключительно коленями и с наклоном вперед.

* Хочу уточнить, что на картинках показаны элементы, на которые стоит обращать внимание. Например, положение пятой точки над сидушкой должно быть на несколько сантиметров выше, а их к сожалению, на изображениии видно не будет, поэтому положения тела немного преувеличены и не стоит ездить именно так, но тренировать это необходимо!
По материалам www.fps-racing.com.ua

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант. - 1972. - № 9. - С. 51-57.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время Δt описывает дугу, угловая мера которой Δφ, то угловая скорость .

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ = ω·r , где r - радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания вращения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости вращения тела в целом.

Задача 1 . Диск радиуса r катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянная и равна υ п. С какой угловой скоростью при этом вращается диск?

Каждая точка диска участвует в двух движениях - в поступательном движении со скоростью υ п вместе с центром диска и во вращательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω.

Для нахождения ω воспользуемся отсутствием проскальзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки А (рис. 2) скорость поступательного движения υ п равна по величине и противоположна по направлению линейной скорости вращательного движения υ вр = ω·r . Отсюда сразу получаем .

Задача 2. Найти скорости точек В , С и D того же диска (рис. 3).

Рассмотрим вначале точку В . Линейная скорость ее вращательного движения направлена вертикально вверх и равна , то есть по величине равна скорости поступательного движения, которая, однако, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результирующая скорость υ B по величине равна и образует угол 45º с горизонтом. У точки С скорости вращательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость υ C равна 2υ п и направлена горизонтально. Аналогично находится и скорость точки D (см. рис. 3).

Даже в том случае, когда скорость точки, движущейся по окружности, не меняется по величине, точка имеет некоторое ускорение, так как меняется направление вектора скорости. Это ускорение называется центростремительным . Оно направлено к центру окружности и равно (R - радиус окружности, ω и υ - угловая и линейная скорости точки).

Если же скорость точки, движущейся по окружности, меняется не только по направлению, но и по величине, то наряду с центростремительным ускорением существует и так называемое тангенциальное ускорение. Оно направлено по касательной к окружности и равно отношению (Δυ - изменение величины скорости за время Δt ).

Задача 3. Найти ускорения точек А , В , С и D диска радиуса r , катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянна и равна υ п (рис. 3).

В системе координат, связанной с центром диска, диск вращается с угловой скоростью ω, а плоскость движется поступательно со скоростью υ п. Проскальзывание между диском и плоскостью отсутствует, следовательно, . Скорость поступательного движения υ п не меняется, поэтому угловая скорость вращения диска постоянная и точки диска имеют только центростремительное ускорение , направленное к центру диска. Так как система координат движется без ускорения (с постоянной скоростью υ п), то в неподвижной системе координат ускорения точек диска будут теми же.

Перейдем теперь к задачам на динамику вращательного движения. Вначале рассмотрим простейший случай, когда движение по окружности происходит с постоянной скоростью. Так как ускорение тела при этом направлено к центру, то и векторная сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть тоже направлена к центру, и по II закону Ньютона .

Следует помнить, что в правую часть этого уравнения входят только реальные силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Никакой центростремительной силы при движении по окружности не возникает. Этим термином пользуются просто для обозначения равнодействующей сил, приложенных к телу, движущемуся по окружности. Что касается центробежной силы , то она возникает только при описании движения по окружности в неинерциальной (вращающейся) системе координат. Мы пользоваться здесь понятием центростремительной и центробежной силы вообще не будем.

Задача 4 . Определить наименьший радиус закругления дороги, которое автомобиль может пройти при скорости υ = 70 км/ч и коэффициенте трения шин о дорогу k =0,3.

Р = m·g , сила реакции дороги N и сила трения F тp между шинами автомобиля и дорогой. Силы Р и N направлены вертикально и равны по величине: P = N . Сила трения, препятствующая проскальзыванию («заносу») автомобиля, направлена к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: . Максимальное значение силы трения F тр max = k ·N = k ·m·g , поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью υ, определяется из уравнения . Отсюда (м).

Сила реакции дороги N при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжести автомобиля. Это связано с тем, что ее момент относительно центра тяжести должен компенсировать момент силы трения, стремящийся опрокинуть автомобиль. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля . При некотором значении скорости момент силы трения превысит момент силы реакции и автомобиль опрокинется.

Задача 5 . При какой скорости автомобиль, движущийся по дуге окружности радиуса R = 130 м, может опрокинуться? Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м над дорогой, ширина следа автомобиля l = 1,5 м (рис. 4).

В момент опрокидывания автомобиля как сила реакции дороги N , так и сила трения F тp приложены к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью υ на него действует сила трения . Эта сила создает момент относительно центра тяжести автомобиля . Максимальный момент силы реакции дороги N = m·g относительно центра тяжести равен (в момент опрокидывания сила реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автомобиль еще не опрокинется:

Откуда ≈ 30 м/с ≈ 110 км/ч.

Чтобы автомобиль мог двигаться с такой скоростью, необходим коэффициент трения (см. предыдущую задачу).

Аналогичная ситуация возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, создающая центростремительное ускорение, имеет момент относительно центра тяжести, стремящийся опрокинуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги мотоциклист наклоняется в сторону поворота (рис. 5).

Задача 6 . Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью υ = 70 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α к горизонту он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?

Сила трения между мотоциклом и дорогой , так как она сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги N = m·g . Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжести дает уравнение: F тp ·l ·sin α = N ·l ·cos α, где l - расстояние ОА от центра тяжести до следа мотоцикла (см. рис. 5).

Подставляя сюда значения F тp и N , находим что или . Отметим, что равнодействующая сил N и F тp при этом угле наклона мотоцикла проходит через центр тяжести, что и обеспечивает равенство нулю суммарного момента сил N и F тp .

Для того, чтобы увеличить скорость движения по закруглению дороги, участок дороги на повороте делают наклонным. При этом в создании центростремительного ускорения, кроме силы трения, участвует и сила реакции дороги.

Задача 7 . С какой максимальной скоростью υ может двигаться автомобиль по наклонному треку с углом наклона α при радиусе закругления R и коэффициенте трения шин о дорогу k ?

На автомобиль действуют сила тяжести m·g , сила реакции N , направленная перпендикулярно плоскости трека, и сила трения F тp , направленная вдоль трека (рис. 6).

Так как нас не интересуют в данном случае моменты сил, действующих на автомобиль, мы нарисовали все силы приложенными к центру тяжести автомобиля. Векторная сумма всех сил должна быть направлена к центру окружности, по которой движется автомобиль, и сообщать ему центростремительное ускорение. Поэтому сумма проекций сил на направление к центру (горизонтальное направление) равна , то есть

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление равна нулю:

N ·cos α – m·g – F т p ·sin α = 0.

Подставляя в эти уравнения максимальное возможное значение силы трения F тp = k·N и исключая силу N , находим максимальную скорость , с которой еще возможно движение по такому треку. Это выражение всегда больше значения , соответствующего горизонтальной дороге.

Разобравшись с динамикой поворота, перейдем к задачам на вращательное движение в вертикальной плоскости.

Задача 8 . Автомобиль массы m = 1,5 т движется со скоростью υ = 70 км/ч по дороге, показанной на рисунке 7. Участки дороги АВ и ВС можно считать дугами окружностей радиуса R = 200 м, касающимися друг друга в точке В . Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках А и С . Как меняется сила давления при прохождении автомобилем точки В ?

В точке А на автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g и сила реакции дороги N A . Векторная сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности, то есть вертикально вниз, и создавать центростремительное ускорение: , откуда (Н). Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе реакции. В точке С векторная сумма сил направлена вертикально вверх: и (Н). Таким образом, в точке А сила давления меньше силы тяжести, а в точке С - больше.

В точке В автомобиль переходит с выпуклого участка дороги на вогнутый (или наоборот). При движении по выпуклому участку проекция силы тяжести на направление к центру должна превышать силу реакции дороги N B 1 , причем . При движении по вогнутому участку дороги, наоборот, сила реакции дороги N В 2 превосходит проекцию силы тяжести: .

Из этих уравнений получаем, что при прохождении точки В сила давления автомобиля на дорогу меняется скачком на величину ≈ 6·10 3 Н. Разумеется, такие ударные нагрузки действуют разрушающе как на автомобиль, так и на дорогу. Поэтому дороги и мосты всегда стараются делать так, чтобы их кривизна менялась плавно.

При движении автомобиля по окружности с постоянной скоростью сумма проекций всех сил на направление, касательное к окружности, должна быть равна нулю. В нашем случае касательная составляющая силы тяжести уравновешивается силой трения между колесами автомобиля и дорогой.

Величина силы трения регулируется вращательным моментом, прикладываемым к колесам со стороны мотора. Этот момент стремится вызвать проскальзывание колес относительно дороги. Поэтому возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию и пропорциональная приложенному моменту. Максимальное значение силы трения равно k·N , где k - коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой, N - сила давления на дорогу. При движении автомобиля вниз сила трения играет роль тормозящей силы, а при движении вверх, наоборот, роль силы тяги.

Задача 9 . Автомобиль массой m = 0,5 т, движущийся со скоростью υ = 200 км/ч, совершает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м (рис. 8). Определить силу давления автомобиля на дорогу в верхней точке петли А ; в точке В , радиус-вектор которой составляет угол α = 30º с вертикалью; в точке С , в которой скорость автомобиля направлена вертикально. Возможно ли движение автомобиля по петле с такой постоянной скоростью при коэффициенте трения шин о дорогу k = 0,5?

В верхней точке петли сила тяжести и сила реакции дороги N A направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение: . Поэтому Н.

Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе N А .

В точке В центростремительное ускорение создается суммой силы реакции и проекции силы тяжести на направление к центру: . Отсюда Н.

Легко видеть, что N B > N A ; с увеличением угла α сила реакции дороги увеличивается.

В точке С сила реакции Н; центростремительное ускорение в этой точке создается только силой реакции, а сила тяжести направлена по касательной. При движении по нижней части петли сила реакции будет превышать и максимальное значение Н сила реакции имеет в точке D . Значение , таким образом, является минимальным значением силы реакции.

Скорость автомобиля будет постоянной, если касательная составляющая силы тяжести не превышает максимальной силы трения k·N во всех точках петли. Это условие заведомо выполняется, если минимальное значение превосходит максимальное значение касательной составляющей силы веса. В нашем случае это максимальное значение равно m·g (оно достигается в точке С ), и условие выполняется при k = 0,5, υ = 200 км/ч, R = 100 м.

Таким образом, в нашем случае движение автомобиля по «мертвой петле» с постоянной скоростью возможно.

Рассмотрим теперь движение автомобиля по «мертвой петле» с выключенным мотором. Как уже отмечалось, обычно момент силы трения противодействует моменту, приложенному к колесам со стороны мотора. При движении автомобиля с выключенным мотором этого момента нет, и силой трения между колесами автомобиля и дорогой можно пренебречь.

Скорость автомобиля уже не будет постоянной - касательная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет движение автомобиля по «мертвой петле». Центростремительное ускорение тоже будет меняться. Создается оно, как обычно, равнодействующей силы реакции дороги и проекции силы тяжести на направление к центру петли.

Задача 10 . Какую наименьшую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D (см. рис. 8) для того, чтобы совершить ее с выключенным мотором? Чему будет равна при этом сила давления автомобиля на дорогу в точке В ? Радиус петли R = 100 м, масса автомобиля m = 0,5 т.

Посмотрим, какую минимальную скорость может иметь автомобиль в верхней точке петли А , чтобы продолжать двигаться по окружности?

Центростремительное ускорение в этой точке дороги создается суммой силы тяжести и силы реакции дороги . Чем меньшую скорость имеет автомобиль, тем меньшая возникает сила реакции N A . При значении эта сила обращается в нуль. При меньшей скорости сила тяжести превысит значение, необходимое для создания центростремительного ускорения, и автомобиль оторвется от дороги. При скорости сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке А . Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость , то он нигде не оторвется от петли.

Теперь определим, какую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D , чтобы в верхней точке петли А его скорость . Для нахождения скорости υ D можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигался только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждый момент направлена перпендикулярно перемещению автомобиля, а, следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа ΔA = F ·Δs ·cos α, где α - угол между силой F и направлением перемещения Δs ). Силой трения между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным мотором можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным мотором не меняется.

Приравняем значения энергии автомобиля в точках А и D . При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки D , то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем

Подставляя сюда значение для искомой скорости υ D , находим: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/ч.

Если автомобиль въедет в петлю с такой скоростью, то он сможет совершить ее с выключенным мотором.

Определим теперь, с какой силой при этом автомобиль будет давить на дорогу в точке В . Скорость автомобиля в точке В опять легко находится из закона сохранения энергии:

Подставляя сюда значение , находим, что скорость .

Воспользовавшись решением предыдущей задачи, по заданной скорости находим силу давления в точке B :

Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».

Упражнения

1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии R = 200 км от поверхности Земли.

2. Диск радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями υ 1 и υ 2 . Определить угловую скорость вращения диска и скорость его центра. Проскальзывание отсутствует.

3. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Показать, что концы векторов скоростей точек вертикального диаметра находятся на одной прямой.

4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью υ = 700 км/час. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол α = 5°.

5. Груз массы m = 100 г, подвешенный на нити длины l = 1 м, равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена по вертикали на угол α = 30°. Определить также натяжение нити.

6. Автомобиль движется со скоростью υ = 80 км/ч по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. При каком минимальном коэффициенте трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра это возможно?

7. Груз массой m подвешен на нерастяжимой нити, максимально возможное натяжение которой равно 1,5m·g . На какой максимальный угол α можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движении груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составит угол α/2 с вертикалью?

Ответы

I. Угловая скорость искусственного спутника Земли ≈ 0,071 рад/с. Линейная скорость спутника υ = ω·R . где R - радиус орбиты. Подставляя сюда R = R 3 + h , где R 3 ≈ 6400 км, находим υ ≈ 467 км/с.

2. Здесь возможны два случая (рис. 1). Если угловая скорость диска ω, а скорость его центра υ, то скорости точек, соприкасающихся с рейками, будут соответственно равны

в случае a) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = υ – ω·R ;

в случае б) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = ω·R – υ.

(Мы приняли для определенности, что υ 1 > υ 2). Решая эти системы, находим:

а)

б)

3. Скорость любой точки М , лежащей на отрезке ОВ (см. рис. 2), находится по формуле υ M = υ + ω·r M , где r M - расстояние от точки М до центра диска О . Для любой точки N , принадлежащей отрезку ОА , имеем: υ N = υ – ω·r N , где r N - расстояние от точки N до центра. Обозначим через ρ расстояние от любой точки диаметра ВА до точки А соприкосновения диска с плоскостью. Тогда очевидно, что r M = ρ – R и r N = R – ρ = –(ρ – R ). где R - радиус диска. Поэтому скорость любой точки на диаметре ВА находится по формуле: υ ρ = υ + ω·(ρ – R ). Так как диск катится без проскальзывания, то и для скорости υ ρ получаем υ ρ = ω·ρ. Отсюда следует, что концы векторов скоростей находятся на прямой, выходящей из точки А и наклоненной к диаметру ВА под углом, пропорциональным угловой скорости вращения диска ω.

Доказанное утверждение позволяет нам сделать вывод, что сложное движение точек, находящихся на диаметре ВА , можно в каждый данный момент рассматривать как простое вращение вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью ω, равной угловой скорости вращения вокруг центра диска. В самом деле, в каждый момент скорости этих точек направлены перпендикулярно диаметру ВА , а по величине равны произведению ω на расстояние до точки А .

Оказывается, что это утверждение справедливо для любой точки диска. Более того, оно является общим правилом. При любом движении твердого тела в каждый момент существует ось, вокруг которой тело просто вращается - мгновенная ось вращения.

4. На самолет действуют (см. рис. 3) сила тяжести Р = m·g и подъемная сила N , направленная перпендикулярно плоскости крыльев (так как самолет движется с постоянной скоростью, то сила тяги и сила лобового сопротивления воздуха уравновешивают друг друга). Равнодействующая сил Р

6. На автомобиль действуют (рис. 5) сила тяжести Р = m·g , сила реакции со стороны цилиндра N и сила трения F тp . Так как автомобиль движется по горизонтальному кругу, то силы Р и F тp уравновешивают друг друга, а сила N создает центростремительное ускорение . Максимальное значение силы трения связано с силой реакции N соотношением: F тp = k·N . В результате получаем систему уравнений: , из которой находится минимальное значение коэффициента трения

7. Груз будет двигаться по окружности радиуса l (рис. 6). Центростремительное ускорение груза (υ - скорость груза) создается разностью величин силы натяжения нити Т и проекции силы тяжести m·g направление нити: . Поэтому , где β - угол, образуемый нитью с вертикалью. По мере того, как груз будет опускаться, его скорость будет расти, а угол β будет уменьшаться. Натяжение нити станет максимальным при угле β = 0 (в тот момент, когда нить будет вертикальной): . Максимальная скорость груза υ 0 находится по углу α, на который отклоняют нить, из закона сохранения энергии:

Используя это соотношение, для максимального значения натяжения нити получаем формулу: T m ax = m·g ·(3 – 2 cos α). По условию задачи T m ах = 2m·g . Приравнивая эти выражения, находим cos α = 0,5 и, следовательно, α = 60°.

Определим теперь натяжение нити при . Скорость груза в этот момент также находится из закона сохранения энергии:

Подставляя значение υ 1 в формулу для силы натяжения, находим:

Задача по физике - 3505

2017-05-27
Мотоциклист движется по горизонтальной плоскости, описывая окружность радиуса $R = 90 м$ (рис.); коэффициент трения колес о почву $k = 0,4$. На какой угол d от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости $v_{1} = 15 м/с$? С какой максимальной скоростью может он ехать по заданной окружности?

Решение:

Будем рассматривать мотоциклиста и мотоцикл как единое твердое тело. На мотоциклиста при его движении действуют: сила тяжести; сила нормальной реакции; сила тяги двигателя; сила трения, направленная по касательной к траектории; сила трения, направленная к центру окружности. Поскольку при движении по окружности радиального перемещения у мотоциклиста нет, последняя сила - сила трения покоя.

Если мотоциклист движется с постоянной скоростью, то сила тяги двигателя и сила трения, направленные по касательной к траектории, взаимно компенсируют друг друга. Сила тяжести приложена к центру масс, сила нормальной реакции и радиальная сила трения покоя $\vec{f}_{тр}$ приложены к нижней точке каждого из колес и создают вращающий момент относительно воображаемой горизонтальной оси, проходящей через центр масс мотоциклиста. Ось эта вместе с центром масс движется относительно Земли по криволинейной траектории (окружности) и обладает нормальным ускорением. Следовательно, система отсчета, связанная с центром масс мотоциклиста, неинерциальна, и в ней на мотоциклиста, помимо всех перечисленных сил, действует еще центробежная сила инерции

$\vec{F}_{цб} = \sum \vec{F}_{цбi} = - \sum m_{i} \vec{a}_{ni} = \sum m_{i} \omega^{2} \vec{r}_{i}$,

где $m_{i}$ - масса каждой материальной точки; $\vec{a}_{ni}$ - ее нормальное ускорение, направленное к центру окружности; $\vec{r}_{i}$ - ее радиус-вектор, проведенный из центра окружности.

Размеры мотоциклиста малы по сравнению с радиусом его траектории, поэтому можно считать, что радиусы, описываемые каждой материальной точкой окружности, одинаковы, т. е. $r_{i} = R$, следовательно, одинаковы и линейные скорости всех точек. Тогда

$v_{i} = \omega R, F_{цб} = m \omega^{2} R$.

В этом случае центробежная сила инерции приложена в центре масс (как и сила тяжести) и не создает вращающего момента относительно рассматриваемой оси. Условие равновесия мотоциклиста сводится к тому, что сумма моментов сил трения $\vec{f}_{тр}$ и нормальной реакции $\vec{N}$ относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равна нулю:

$\vec{M}_{тр} + \vec{M}_{N} = 0$. (1)

Если размеры мотоциклиста сравнимы с радиусом $R$, то центробежные силы инерции, действующие на отдельные точки мотоциклиста, тем больше, чем больше радиус г, описываемой окружности. В этом случае точка приложения результирующей $\vec{F}_{цб}$ будет расположена ниже центра масс и вращающий момент относительно рассматриваемой оси окажется отличным от нуля. Тогда условие равновесия (1) несправедливо.

Уравнение (1) позволит найти угол $\alpha$ отклонения мотоциклиста от вертикали, так как моменты обеих сил [см. (1)] зависят от этого угла.

В рассматриваемой неинерциальной системе мотоциклист неподвижен. Следовательно, сумма всех сил, действующих на мотоциклиста, равна нулю:

$m \vec{g} + \vec{F}_{цб} + \vec{f}_{тр} + \vec{N} = 0$. (2)

Поскольку центробежная сила инерции зависит от угловой скорости движения, уравнение (2) позволит найти ее возможные значения.

Моменты сил трения и нормальной реакции будут скомпенсированы, т. е. равенство (1) выполняется, если результирующая этих сил проходит через центр масс, т. е. если

$rg \alpha = f_{тр}/N$. (3)

Равенство (2), записанное для проекций на оси: горизонтальной, направленной к центру описываемой окружности, и вертикальной, - примет вид

$f_{тр} - F_{цб} = 0$, (4)
$N - mg = 0$. (5)

Из равенства (4) найдем

$f_{тр} = m \omega^{2}R = mv^{2}/R$. (6)

Подставим выражения (5) и (6) в (3), учитывая, что $v = v_{1}$:

$tg \alpha = v_{1}^{2}/ (gR) = 0,255; \alpha = 14^{ \circ}$.

Как уже отмечалось, $f_{тр}$ есть сила трения покоя, следовательно, $f_{тр} \leq kN = kmg$ и равенство (4) можно записать в виде

$F_{цб} = f_{тр} \leq kmg$ или $mv^{2}/R \leq kmg$.

Окончательно

$v_{max} = \sqrt{kgR} = 19 м/с$.